Демидов Александр Александрович родился в селе Полтево (в настоящее время Чернского района Тульской области) в семье крестьянина. Окончил начальную школу. Работал в колхозе, на строительстве Бобриковского химкомбината, на распиловочном заводе № 2 Кировской области.
В РККА призван в январе 1943 года Железнодорожным райвоенкоматом Коми АССР и направлен на фронт. Воевал на Брянском (март-август 1943 г.) и Центральном (с сентября 1943 г.) фронтах.
28 сентября 1943 года при форсировании Днепра в районе села Мысы Репкинского района Черниговской области УССР сапёр сапёрного взвода 234-го гвардейского стрелкового полка (76-я гвардейская стрелковая дивизия, 61-я армия, Центральный фронт) гвардии рядовой А. А. Демидов под огнём противника в течение троих суток непрерывно переправлял на лодках и плотах подразделения полка, материальную часть, боеприпасы, в воде крепил канаты и тросы. При этом был тяжело ранен.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 января 1944 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии рядовому А. А. Демидову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 3594).
После войны демобилизовался и вернулся в родное село. Долгое время работал в совхозе. Умер 18 февраля 1988 года.
Награждён медалью «Золотая Звезда» № 3594 Героя Советского Союза (15 января 1944); орденом Ленина (15 января 1944); орденом Отечественной войны I степени.
Имя А. А. Демидова высечено на памятнике тулякам — Героям Советского Союза в городе Туле, на Стене Героев Советского Союзана территории Мемориального комплекса и Парка Памяти в Урванском лесу в городе Новомосковске, на аллее Героев (ул. Московская).